I. Các phương pháp chứng minh.
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất hình bình hành.
Tính chất: Trong hình bình hành các cạnh đối song song
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang.
Tính chất:
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
Phương pháp 3: Sử dụng định lí Talet đảo:
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì song song với cạnh còn lại của tam giác
II. Một số bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C. Chứng ming rằng: CA // DE
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất hình bình hành
+) Tứ giác ECDO là hình chữ nhật (vì có 4 góc vuông)
+) Lại có EC // DA (cùng vuông góc Oy)
=> EC = OD mà OD = DA (gt); EC = DA
=> tứ giác ECDA là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hbh)
Bài 2: Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N.
Chứng minh rằng: MN // AC.
Phân tích: Để chứng minh MN // AC có nhiều cách để chứng minh. Theo bài ra cho các đường phân giác của các góc vì thế ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác đưa ra các tỉ lệ bằng nhau, từ đó áp dụng định lý Talet đảo để chứng minh MN // AC
Lời giải:
Cách 1 (Sử dụng định lý Talet đảo)
Vì CN là tia phân giác của góc C nên => 
Vì AM là tia phân giác của góc A nên => 
Mặt khác tam giác ABC cân tại B => BA=BC => 
ÞMN // AC (theo định lí Talet đảo)
Tiếp tục phân tích bài toán:
Nếu ta gọi O là giao điểm của AM và CN thì khi đó ta có 
Như vậy ta có cách 2 để chứng minh MN // AC đó là sử dụng cách chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3.
Cách 2: (chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3)
Gọi O là giao điểm của CN và AM => (Vì tam giác ABC cân) (1)
Lại có ΔAMB=ΔCNB (g.c.g)
Vì AB = BC (gt)
∠A1=∠C1
∠B là góc chung
=> BM=BN => ΔBMN cân (Vì BO là tia phân giác) (2)
Từ (1) và (2) => MN // AC
III. Các bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh: EI//CD; IF//AB
Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh: DE//IK
Bài 3: Cho hình thang ABCD có AB//CD. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và đỉnh D cắt nhau ở M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và đỉnh D cắt nhau ở N. Chứng minh MN//CD.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.
- Chứng minh AH=DE
- Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm HC. Chứng minh rằng DI//EK
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB, BC.
- Chứng minh CE vuông góc với DF
- Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh KA // CE.
Ngoài ra còn có thể tham khảo trong sách nâng cao và phát triển toán 8
- Nâng cao phát triển toán 8 tập 1: Bài 51 tr 88; 52 tr 89; 96 tr 100
- Nâng cao phát triển toán 8 tập 2: Ví dụ 35 tr 86; ví dụ 36 tr 89; bài 208 tr 86; 210, 211, 214, 216 tr 88;, bài 220, 222, 224, 225 tr 91; 251 tr 96