* Áp dụng chủ yếu vào bài toán trung điểm đoạn thẳng.
I. Phương pháp chứng minh
1. Sử dụng định nghĩa:
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB <=> Điểm M nằm giữa A, B và MA=MB
2. Sử dụng tính chất :
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB <=> MA = MB = AB/2
II. Bài tập minh họa
Bài 1: Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm.
a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không?
b) So sánh OA và AB.
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
Bài giải:
a) Ta có: OA=2cm, OB=4cm => OA < OB (2cm < 4cm)
Nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
b) Vì A nằm giữa O và B nên: OA + AB = OB.
=> AB = OB - OA = 4 - 2 = 2.
Vậy AB = 2cm.
c) Ta có: + A nằm giữa O và B.
+ OA=AB=2cm.
Nên A là trung điểm của đoạn thẳng OB.
Bài 2: Cho hai tia đối nhau Ox và Ox'. Trên tia Ox vẽ điểm A sao cho OA = 2cm. Trên tia Ox' vẽ điểm B sao cho OB = 2cm. Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?
Bài giải:
Ta có điểm O nằm giữa hai điểm A và B (vì OA và OB là hai tia đối nhau)
Mà OA = OB = 2cm (gt)
Nên O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 3: Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng xx' và yy'. Trên xx' vẽ đoạn thẳng CD dài 3cm, trên yy' vẽ đoạn thẳng EF dài 5cm sao cho O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng ấy.
Bài giải:
Với yêu cầu của đề bài, ta có hình vẽ như sau:
|
|
|
O là trung điểm của CD và EF.
|
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Lấy D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AD = BE = 2cm. Vì sao D là trung điểm của DE?
Bài giải:
Theo đề C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:
CA = CB = AB/2 = 3 (cm)
Ta có D, C thuộc tia AB; AD <AC . Nên D nằm giữa A và C.
Khi đó: AD + DC = AC
=> DC = AC - AD = 3 - 2 = 1(cm) (1)
Ta cũng có C, E thuộc tia BA; BE<BC nên E nằm giữa C và B.
Khi đó:CE + BE = CB.
=> CE = CB - BE = 3 - 2 = 1(cm) (2)
Mặt khác: D, C, E thuộc tia AB; AD<AC<AE => C nằm giữa D và E. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra C là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Bài 5: Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA=3cm,OB= 7cm.
a) Tính AB
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Tính OM.
c) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của AC. Tính CM.
Bài giải:
a) Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và B ( trên tia Ox OA=3cm<OB=7cm)
Nên OA + AB = OB
Thay số: 3 + AB = 7
AB = 7 – 3
AB = 4 cm
b) Tính OM?
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AM = MB =AB/2 = 2 cm
Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và M nên OA + AM = OM
Thay số: 3 + 2 = OM
OM= 5 cm
c) Vì O là trung điểm của AC nên AC = 2 . OA = 2 . 3 = 6 cm
Vì điểm A nằm giữa hai điểm C và M nên:
AC + AM = CM
Thay số: 6 + 2 = CM
CM = 8 cm
ÁP DỤNG:
Bài 6: Vẽ đoạn thẳng AB = 18cm có O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính OA và OB.
Bài 7 : Trên đường thẳng xy lấy hai điểm A và B. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết AM = 12cm. Tính MA và MB.
Bài 8 : Trên tia Ox lấy đoạn OA = 11cm. Lấy điểm B trên tia đối của tia Ox sao cho OB = OA.
a) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tính độ dài AB.
Bài 9 : Vẽ hai tia Ox và Oy đối nhau. Lấy A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho OA = OB và AB = 15cm.
a) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Tính độ dài của OA và OB.
Bài 10: Vẽ AB = 30 cm. Lấy điểm O nằm giữa hai điểm A và B sao cho AB = 2AO.
a) Chứng minh OA = OB.
b) Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
c) Tính độ dài của OA và OB.